高等电动力学的一个证明

命题：

对平面波按矢量球波函数进行展开。

其中，。

证明：

矢量球波函数：

其中，可以是四个球贝塞尔函数之中的任意一个。

对于平面波：

由矢量球波函数的各分量特点，首先考虑使用组合出分量。

考虑的变化规律，则

考虑的对称性，则在展开中只存在项,（同理可得）。

那么命题变为考虑（记为），使得

取，则命题变为：

由连带勒让德函数正交关系：

对（1）式乘并对求积分，可得：

继续计算需要得到的正交关系：

不是正交的，但有：

这不影响我们的结果，（2）两边乘，对求积分：

可得：

后半部分积分：

由,,可得:

mathematica进行计算符合命题。

根据

根据,上式化为：

综上，

此时，

接下来需要考虑方向，此时没有正交关系，将十分难以进行计算，于此补上正交关系证明：

对于任意时,

故(4)式对任意都等于零。

同理，对任意成立（提取方向即得）